terça-feira, 14 de setembro de 2010

Curiosidades 2

Alguém já pensou como os astrônomos mediam a distância tão grande que existe entre estrelas e a Terra? A geometria resolve.
Outra curiosidade: Como conseguiu-se calcular a medida da circunferência da Terra? Leia o texto abaixo para descobrir.

No mesmo período em que viveu Arquimedes, outro matemático grego também se destacou: Eratóstenes (276 – 196 a.C.).
Natural de Cirene, Eratóstenes viveu parte da juventude em Atenas. Foi um atleta bastante popular, destacando-se em várias modalidades esportivas. Autor de muitos livros de Astronomia e Geometria, escreveu ainda poesias e textos para teatro.
Nenhuma de suas obras, porém, chegou até nós. Tudo o que sabemos sobre Eratóstenes é através de outros autores.
No entanto, apesar de seus múltiplos interesses, ele não conseguiu ser pioneiro em nenhuma das atividades que desenvolveu, nas Ciências ou nas Letras.
Por esse motivo, os gregos o chamavam de Beta (ß), que é a segunda letra do alfabeto grego, deixando claro que o reconheciam como o segundo em tudo, mas nunca o melhor em nada.
Mas, façamos justiça. Nenhum matemático ou astrônomo se igualou a Eratóstenes nos cálculos para medir a circunferência da Terra.
Uma das questões que desafiaram os matemáticos e astrônomos da Antigüidade foi a determinação do tamanho do Sol e da Lua. Para chegar a essas medidas, era necessário conhecer o tamanho da circunferência da Terra.
Muitos matemáticos daquela época se dedicaram a medir a Terra, mas foi Eratóstenes que fez a demonstração mais interessante. Vejamos como ele procedeu.
Eratóstenes sabia o dia exato em que iria ocorrer o solstício de verão na cidade de Assuan, às margens do rio Nilo. Nesse dia especial, ao meio-dia, o Sol ficava completamente a pino. Desse modo, uma vareta fincada verticalmente no solo não fazia nenhuma sombra nesse horário. E o fundo de um poço ficava completamente iluminado.
Fincando uma vara num plano horizontal, durante a luz do Sol, verificamos que o tamanho da sombra projetada pela vara apresenta variações. No início da manhã, o comprimento da sombra é bem longo, e vai diminuindo, até atingir um ponto mínimo para logo depois voltar a se alongar até o pôr-do-sol.
Chamamos de meio-dia o instante em que a sombra da vara tem o menor comprimento.
Se medirmos a sombra ao meio-dia, durante vários dias sucessivos, veremos que ela varia. Os antigos já sabiam que, quanto mais quente estivesse o clima, menor era a sombra do meio-dia.
Solstício de verão é o dia em que essa sombra é mínima. O solstício define o início do verão. Da mesma forma, o início do inverno é definido pelo solstício de inverno, dia em que a sombra do meio-dia é máxima.
Em São Paulo, o solstício de verão ocorre em 22 de dezembro e o solstício de inverno, em 22 de junho. Em Assuan, essas datas se invertem: o solstício de verão acontece em 22 de junho e o de inverno, em 22 de dezembro.
O termo solstício vem do latim e significa sol estático.
Aproveitando-se desse fato, Eratóstenes dirigiu-se à cidade de Alexandria e, aproximadamente no mesmo horário em que o Sol ficava a pino em Assuan, fincou verticalmente uma vareta no chão. A seguir, mediu o ângulo formado pela vareta e pelo segmento formado pela ponta da vareta com a extremidade da sombra.
Vamos acompanhar o raciocínio de Eratóstenes:
. C é o centro da Terra;
. a vareta em Assuan não forma sombra;
. a é o ângulo formado pela vareta e sua sombra, em Alexandria;
. b é o ângulo com vértice no centro da Terra, cujos lados são formados pelos prolongamentos das varetas fincadas em Alexandria e Assuan.
Como os raios de Sol são aproximadamente paralelos, as retas r e s são paralelas e os ângulos a e b são alternos internos. Portanto, a e b são congruentes: a = b
Eratóstenes descobriu que o ângulo a media 1/50 de toda a circunferência da Terra.
Como a = b, a distância entre Assuan e Alexandria também era 1/50 da circunferência da Terra.
A distância aproximada entre Assuan e Alexandria era de 5.000 stadium. O stadium, antiga medida grega, valia: 1 km = 6,3 stadium.
Eratóstenes concluiu, então, que a circunferência da Terra era aproximadamente igual a:
50 x 5.000 = 250.000 stadium.
Em quilômetros, temos:
1 km --------------- 6,3 stadium
x km --------------- 250.000 stadium
Então, resolvendo-se a proporção, temos que x = 39.682 km.
Sem dúvida, determinar a medida da circunferência da Terra foi a grande façanha de Eratóstenes. Além disso, ele ainda se defrontou com um problema que até então os matemáticos não haviam resolvido: uma unidade prática para medir ângulos e arcos de circunferência.
Para terminar este post, uma pergunta do outro mundo: Como se conseguirá fazer com que um extraterrestre compreenda o que significa um ser humano (caso encontremos um)?
Esta questão foi posta a uma comissão de peritos em 1977, quando as naves espaciais americanas Voyager 1 e 2, transportando mensagens destinadas a qualquer forma de vida inteligente que pudesse encontrar , estavam prestes a ser lançadas para o espaço.
Com surpresa de muita gente, todos os peritos concordaram que a matemática é a linguagem mais universal e que os eventuais extraterrestres talvez compreendessem melhor a estrutura matemática do que a estrutura de qualquer outra linguagem.

Curiosidades


A lenda da biblioteca
A biblioteca de Alexandria é uma lenda. Não um mito, mas uma lenda. A destruição da biblioteca do mundo antigo foi recontada muitas vezes. Muita tinta foi derramada, antiga e moderna, sobre os 40.000 volumes abrigados nos depósitos perto do porto, que foram supostamente queimados quando Julius Caesar incinerou a frota do irmão de Cleopatra. A figura de Hypatia, uma matemática, sendo arrastada de sua carruagem por uma multidão de monges pagões e queimada viva em cima dos restos da biblioteca encontram seu lugar na lenda também. Contudo quando nós soubermos de muitos boatos da destruição "da biblioteca" (na verdade, havia ao menos três bibliotecas diferentes que coexistiam na cidade), e se sabe hoje de escolas inteiras em Alexandria e o scholarship, existem poucos dados sobre as localizações, disposições, terras arrendadas, organização, administração, e estrutura física do lugar.

O Papiro de Ahmes ( ou Rhind) e o Papiro de Moscou

   Dentre todos os antigos documentos matemáticos que chegaram aos dias de hoje, talvez os mais famosos sejam os cahmados Papiro de Ahmes ( ou Rhind) e o Papiro de Moscou. O de Ahmes é um longo papiro egípcio, de cerca de 1.650 a.C., onde um escriba de nome Ahmes, ensina as soluções de 85 problemas de aritmética e geometria. Este papiro foi encontrado pelo egiptólogo inglês Rhind no final do século 19 e hoje está exposto no Museu Britânico, em Londres.

O de Moscou é um pouco mais velho e contém a fórmula correta para o cálculo do volume de um tronco de pirâmide. Muito provalvelmente existiram papiros análogos anteriores, mas estes foram os mais velhos que se salvaram. Além disto, o de Ahmes notabilizou-se por ter sido seu autor o mais antigo matemático cujo nome a história registrou. Em ambos os papiros aparecem problemas que contêm, timida e disfarçadamente, equações de 1º grau.

Um dos problemas de Ahmes dizia : "Uma quantidade , somada a seus 2/3, mais a metade e mais a sua sétima parte perfaz 33. Qual essa quantidade? "

Matemáticos

Abu Abdullah Mohammed ben Musa Al-Khwarizmi foi um matemático árabe que nasceu em torno de 780 e morreu por volta do ano 850. Sabe-se pouco sobre sua vida. Há indícios de que ele, ou a sua família, era originário de Khowarezm, a região a sul do mar Aral, na altura parte da Pérsia ocupada pelo Árabes (atualmente parte do Uzbequistão). Foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar na Casa da Sabedoria, em Baghdad, durante o reinado do califa al-Mamum (813-833).
Al-Khwarizmi escreveu tratados sobre aritmética, álgebra, astronomia, geografia e sobre o calendário. É possível que tenha escrito um tratado sobre o astrolábio e outro sobre relógios de sol, mas estes dois últimos não chegaram aos nossos dias. Tanto o tratado sobre a aritmética como o sobre a álgebra constituíram o ponto de partida para trabalhos posteriores e exerceram uma forte influência no desenvolvimento da matemática, principalmente da aritmética e da álgebra. 
A versão original do pequeno tratado de aritmética de Al-Khwarizmi encontra-se perdida, mas este chegou a Espanha e existem traduções, do século XII, para latim. No seu texto al-Khwarizmi introduz os nove símbolos indianos para representar os algarismos e um círculo para representar o zero. Depois explica como escrever um número no sistema decimal de posição utilizando os 10 símbolos. Descreve as operações de cálculo (adição, subtração, divisão e a multiplicação) segundo o método indiano e explica a extração da raiz quadrada. Depois do cálculo com números inteiros, aborda o cálculo com frações (expressando-as como a soma de frações unitárias).
De acordo com Youschkevitch, existem três textos, em latim, do século XII, que podem ser traduções do tratado de aritmética de al-Khwarizmi. O Liber Algorismi de pratica arismetrice (o Livro de Algorismi sobre a aritmética prática), escrito por João de Sevilha (ou de Todelo), um judeu espanhol convertido ao catolicismo que trabalhou em Todelo de 1135 a 1153. O Liber Ysagogarum Alchorismi in artem astronomicam (Introdução de Algorismi sobre a arte da astronomia), do qual se conhecem várias cópias, uma datada de 1143. Não se sabe quem terá sido o seu autor se o inglês Adelardus de Bada, ou Bath (que pertencia à escola de Toledo), ou de Robert de Cherter, também inglês. Youschkevitch, refere, ainda, uma outra tradução, do século XIII, sem título, que se encontra na Biblioteca da Universidade de Cambridge, publicada por Boncompagni, em 1857, com o título Algoritmi de numero indorum e que inicia com as palavras Dixit Algorismi (ou seja, Algorismi disse).
A palavra algorismi é portanto a versão latina do nome al-Khwarizmi e que derivou na palavra algoritmo.

O tratado de álgebra escrito por Al-Khwarizmi data de cerca de 830 e tem o título Hisab al-jabr w'al-muqabala, uma possível tradução seria o cálculo por completação (ou restauração) e redução. Al-jabr é a operação que consiste em adicionar termos iguais a ambos os membros da equação de forma a eliminar os termos com coeficiente negativo e al-muqabala a operação que se faz de seguida e que consiste em adicionar os termos semelhantes.
Al-Khwarizmi diz-nos, na introdução da sua álgebra, com o título, que o califa al-Mamum o encorajou a escrever um pequeno trabalho sobre o cálculo pelas regras de completação e redução, confinando-o ao que é mais simples e mais útil na aritmética, tais como as que os homens constantemente necessitam no caso das heranças, partilhas, processos judiciais, e comércio, e em todas os seus negócios com outros, ou quando a medição de terras, a escavação de canais, cálculos geométricos, e outros coisas de várias espécies e tipos estão envolvidos.
O seu livro é composto por três partes. A primeira sobre a álgebra, que precede um breve capítulo sobre os transações comerciais; a segunda sobre a geometria e a terceira parte sobre as questões de heranças. No seu livro Al-Khwarizmi não usa qualquer símbolo, nem sequer os símbolos que descreverá posteriormente na sua aritmética.
O livro foi, também, traduzido para latim, no século XII, mas essas traduções não incluíam a segunda e a terceira partes. Robert de Chester, na sua tradução para latim, de 1140, traduz o tratado de álgebra de al-Khwarizmi com título Liber algebrae et almucabala, portanto álgebra deriva da tradução latina de al-jarb.


Ubiratan D'Ambrósio (São Paulo, 8 de dezembro de 1932) é um matemático e professor universitário brasileiro.
Doutor em matemática, é um teórico da educação matemática e um dos pioneiros no estudo da Etnomatemática.
Em 2001, ganhou da Comissão Internacional de História da Matemática a medalha Kenneth O May por importantes contribuições na área de História da Matemática. Em 2005, ganhou da Comissão Internacional de Instrução Matemática a medalha Felix Klein pelo reconhecimento de suas contribuições no campo da educação matemática.
É professor emérito de Matemática da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Atualmente é professor do Programa de Estudos Pós-Graduados de História da Ciência da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC); professor credenciado no Programa de Pós-Graduação da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo; professor do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP); e professor visitante no Programa Sênior da FURB / Universidade Regional de Blumenau.
Seu nome figura como signatário de importantes documentos no mundo da ciência, como a Declaração de Veneza de 1986 e Carta da Transdisciplinaridade de 1994. Junto com Edgar Morin e Bassarab Nicolescu fundou o Centre International de Recherches et Études Transdisciplinaires

Vídeos: Área das principais figuras planas

Aqui estão alguns vídeos sobre a área das figuras, para que vocês possam visualizar. Tem exercícios também.

Exercícios

 
Geometria Plana: Exercícios de áreas de regiões poligonais
1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?
R: A2, ou seja, área do segundo paralelogramo, é igual a 2b (porque a base duplicou) vezes 2h (porque a altura duplicou), o que dá 4bh. Como bh é igual a A1 (área do primeiro paralelogramo), então a área do segundo é 4A1. 
2. A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3. Qual é a
razão entre as áreas desses dois quadrados?
R: A razão é 1:9. Pode-se ver isso melhor por um exemplo: Se o lado do primeiro quadrado for 1, o do segundo será 3 (a razão é 1:3), então a área do primeiro é 1 e a do segundo é 9 (a razão é 1:9).
3. É possível obter a área de um paralelogramo, se conhecemos apenas
as medidas de seus lados?
R: Não, pois a área de um paralelogramo depende de sua altura,
que por sua vez depende do ângulo entre seus lados.
4. Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16
cm?
R: A = Substituímos na fórmula: Dxd/2, e fica: 10.16/2, o que é igual a 160/2. Fazendo o cálculo, a área desse losango é 80 cm².

Cálculo da Área do Retângulo


Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.
Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retângulo, chamado de quadrado.
Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma forma.
 Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte fórmula:


Exemplos

Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?
Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:

Utilizando a fórmula:

A área deste terreno é de 125 m2.

A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta tampa?
Podemos atribuir 15 à variável h e 30 à variável b:

Ao substituirmos as variáveis na fórmula teremos:

Portanto a área da tampa da caixa de sapatos é de 450 cm2.

Cálculo da Área do Quadrado

Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado.
 O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais.
Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área tanto do losango, quanto do paralelogramo.








Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do paralelogramo:



Como h e b possuem a mesma medida, podemos substituí-las por l, ficando a fórmula então como sendo:




 Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a fórmula do losango:

Como ambas as diagonais são idênticas, podemos substituí-las por d, simplificando a fórmula para:


Exemplos

A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfície desta tampa?
Do enunciado temos que a variável l é igual a 17:



Substituindo na fórmula temos:

Portanto a superfície da tampa desta caixa é de 289 cm2.

A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área?
Como o lado mede 20 cm, temos:



Substituindo na fórmula temos:

A área do quadrado é de 400 cm2.

A área de um quadrado é igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado?
Temos que S é igual a 196.

Utilizando a fórmula temos:

Como a medida do lado não pode ser negativa, temos que o lado do quadrado mede 14 cm.

Cálculo da Área do Losango

O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são iguais.
Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango.




Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.
Observe na figura à direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro triângulos iguais.





Consideremos a base b como a metade da diagonal d1 e a altura h como a metade da diagonal d2, para calcularmos a área de um destes quatro triângulos. Bastará então que a multipliquemos por 4, para obtermos a área do losango. Vejamos:




Realizando as devidas simplificações chegaremos à formula:


 

Exemplos

As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?
Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:





Utilizando na fórmula temos:

A medida da superfície deste losango é de 75 cm2

Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?
Neste caso, para o cálculo da área utilizaremos a fórmula do paralelogramo, onde utilizamos a base e a altura da figura geométrica, cujos valores temos abaixo:





Segundo a fórmula temos:



A medida da área do losango é de 108 cm2.

Cálculo da Área do Paralelogramo

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo.
Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo:


Exemplos

A medida da base de um paralelogramo é de 5,2 dm, sendo que a medida da altura é de 1,5 dm. Qual é a área deste polígono?
Segundo o enunciado temos:






Substituindo na fórmula:



A área deste polígono é 7,8 dm2.

Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?
Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:





Substituindo na fórmula:



A medida da área deste paralelogramo é 200 cm2 ou 2 dm2.

Cálculo da Área do Triângulo

Cálculo da Área do Triângulo

 

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados.
Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base.
A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:





A letra S representa a área ou superfície do triângulo.







No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:





Onde l representa a medida dos lados do triângulo.

Exemplos

A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de 3,5 cm, qual é a área deste triângulo?
Do enunciado temos:






Utilizando a fórmula:





A área deste triângulo é 12,25 cm2.

Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero?
Segundo o enunciado temos:



Substituindo na fórmula:

A área deste triângulo equilátero é de aproximadamente 10,8 mm2.